Nota: Si el número introducido es impar, se generarán las secuencias SPI y SP, pero no SPP. Si es par, se generarán las secuencias SPP y SP, pero no SPI. La secuencia de Collatz se generará siempre.
Descripción de las funciones:
Secuencia SP
Para \( k \in \mathbb{N}^{+} \), definimos:
\[
f_{SP}(k) = \begin{cases}
\frac{3^n (k+1)}{2^n} - 1 & \text{si } k \text{ es impar, donde } n = \nu_2(k+1), \\
\frac{k}{2^m} & \text{si } k \text{ es par, donde } m = \nu_2(k),
\end{cases}
\]
donde \( \nu_2(x) \) es la mayor potencia de 2 que divide a \( x \). La secuencia SP se genera iterando \( f_{SP} \) desde un entero inicial \( k \).
Secuencia SPI (impares)
Para \( k \in \mathbb{N}^{+} \) impar:
\[
f_{SPI}(k) = \frac{(k+1) \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^n - 1}{2^m},
\]
donde \( n = \nu_2(k+1) \), \( m = \nu_2 \left( (k+1) \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^n - 1 \right) \). La secuencia SPI itera \( f_{SPI} \) hasta alcanzar 1.
Secuencia SPP (pares)
Para \( k \in \mathbb{N}^{+} \) par:
\[
f_{SPP}(k) = \left( \frac{k}{2^{\nu_2(k)}} + 1 \right) \left( \frac{3}{2} \right)^{\nu_2 \left( \frac{k}{2^{\nu_2(k)}} + 1 \right)} - 1.
\]
La secuencia SPP itera \( f_{SPP} \) hasta alcanzar 2.
Secuencia Collatz clásica
Para \( k \in \mathbb{N}^{+} \):
\[
f_C(k) = \begin{cases}
3k + 1 & \text{si } k \text{ es impar, } \\
\frac{k}{2} & \text{si } k \text{ es par.}
\end{cases}
\]