Secuencias cíclicas programadas: la familia fc
Este generador acompaña al escrito Las secuencias cíclicas programadas como conjugadas afines de la función de Collatz. Cada función fc es la función de Collatz escrita en la coordenada n = 3m + c: aquí se ve la órbita de fc y, a su lado, la órbita de Collatz que le corresponde.
fc(n) = (n + c)/2 si n ≡ c (mód 2); fc(n) = 3n + 3 − 2c en otro caso
Conjugación: fc(3m + c) = 3·𝒞(m) + c, donde 𝒞 es la función de Collatz
Ciclo principal (A, B, C) = (c + 12, c + 6, c + 3); punto fijo n = c
Ejemplos: 27 con (13, 7, 4), 9 con (12, 6, 3), 20 con (14, 8, 5), 25 con (10, 4, 1), 0 con (13, 7, 4): no converge, −8 con (13, 7, 4): ciclo negativo
Función f1: en los pares, 3n + 1; en los impares, (n + 1)/2. Ciclo principal (13, 7, 4).
La órbita de 27 alcanza el ciclo principal en 17 pasos.
La órbita entra en la clase n ≡ 1 (mód 3) en el paso 2; a partir de ahí, m = (n − c)/3 recorre la órbita de Collatz de 14.
Órbita
| Paso | n | Paridad | Regla aplicada | Raíz digital | m = (n − c)/3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 27 | impar | (n + 1)/2 | 9 | |
| 1 | 14 | par | 3n + 1 | 5 | |
| 2 | 43 | impar | (n + 1)/2 | 7 | 14 |
| 3 | 22 | par | 3n + 1 | 4 | 7 |
| 4 | 67 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 22 |
| 5 | 34 | par | 3n + 1 | 7 | 11 |
| 6 | 103 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 34 |
| 7 | 52 | par | 3n + 1 | 7 | 17 |
| 8 | 157 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 52 |
| 9 | 79 | impar | (n + 1)/2 | 7 | 26 |
| 10 | 40 | par | 3n + 1 | 4 | 13 |
| 11 | 121 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 40 |
| 12 | 61 | impar | (n + 1)/2 | 7 | 20 |
| 13 | 31 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 10 |
| 14 | 16 | par | 3n + 1 | 7 | 5 |
| 15 | 49 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 16 |
| 16 | 25 | impar | (n + 1)/2 | 7 | 8 |
| 17 | 13 | impar | (n + 1)/2 | 4 | 4 |
| 18 | 7 | impar | (n + 1)/2 | 7 | 2 |
| 19 | 4 | par | 3n + 1 | 4 | 1 |
Las filas marcadas a la izquierda forman el ciclo final. La última columna solo se rellena desde la entrada en la clase de c módulo 3: allí cada paso de fc corresponde exactamente a un paso de la función de Collatz sobre m, y el ciclo principal corresponde a 4 → 2 → 1.
Órbita de Collatz correspondiente
Se ha comprobado paso a paso que cada término es la imagen del anterior por la función de Collatz.
Alcance
Que toda órbita de fc que parte de n > c alcance el ciclo principal es equivalente a la conjetura de Collatz; las órbitas que parten de n ≤ c no lo alcanzan nunca. Este generador calcula órbitas concretas y no permite extraer conclusiones sobre la conjetura.