El Capítulo 41 desarrolla la hipótesis HID —que el índice k(p) se distribuye uniformemente cuando p varía en la torre— a través de dos líneas paralelas: la búsqueda del par experimental y el análisis estructural de HP como ley límite en el régimen de orden multiplicativo creciente. El resultado central es el teorema de no-reducción: HP no puede deducirse de ningún resultado clásico de Chebotarev en un campo fijo. La familia de extensiones asociadas colapsa en exactamente cinco campos de Kummer fijos.
La Sección 41.1 contiene ocho escritos. Los dos primeros reformulan HP con precisión: la condición k(p)=r equivale a una divisibilidad aritmética explícita, y para d fijo la fibra es finita, de modo que la única estadística posible aparece cuando el orden crece sin límite. Los escritos siguientes desarrollan HP como ley límite bajo una hipótesis de pseudoaleatoriedad, la contrastan con una simulación interna, y la demuestran parcialmente para la familia de raíces primitivas bajo la hipótesis de Riemann generalizada. Los tres últimos establecen el teorema de no-reducción, clasifican los cinco campos de Kummer asociados y sintetizan el capítulo.