ÍNDICE GENERAL — Capítulos → Secciones → Escritos

La conjetura de Collatz, también conocida como el problema \(3n+1\), plantea una pregunta sencilla y aún sin resolver: ¿se reduce a 1 toda secuencia generada por una función específica aplicada repetidamente a cualquier número natural positivo? Este capítulo cumple una función introductoria y referencial. Aquí se establecen las bases necesarias para abordar los capítulos siguientes, donde se exploran temas como funciones variantes, raíces digitales, ciclos intermedios, grafos dirigidos y otras herramientas analíticas aplicadas al estudio de estas secuencias.

Las Secuencias Personalizadas son variantes creadas a partir del espíritu de la célebre conjetura de Collatz. Aunque comparten con ella la idea de aplicar reglas iterativas simples a números naturales, estas secuencias introducen modificaciones deliberadas —en las operaciones, condiciones o tratamientos de pares e impares— que generan comportamientos distintos al clásico ciclo 4-2-1.

Este capítulo se centra en el estudio de las estructuras intermedias que aparecen en las secuencias de Collatz antes de alcanzar el ciclo final 4−2−1. Se introduce el concepto de tramo como unidad dinámica local, entendida como una subtrayectoria con propiedades internas reconocibles —aritméticas, estructurales o funcionales— que organiza el recorrido global de la secuencia.

Este capítulo estudia la dinámica de Collatz a través de las raíces digitales, es decir, de los residuos módulo 9, y de su representación en un grafo dirigido. En lugar de seguir los números naturales uno a uno, se agrupan según su raíz digital y su paridad, lo que da un grafo finito de dieciocho nodos sobre el que pueden estudiarse globalmente las transiciones de la función de Collatz. En ese grafo se clasifican los once ciclos elementales posibles: nueve son contractivos, salvo el circuito trivial 4→2→1, y dos pueden producir expansión neta. Se caracterizan aritméticamente estos dos ciclos mediante valuaciones 2-ádicas, con la distribución exacta de las longitudes de sus bloques, y se demuestra que una órbita que deja de recorrerlos alcanza el 1. Una órbita no convergente que prescindiera del ciclo crítico tendría que encadenar infinitas veces dos o más circuitos del otro ciclo expansivo. Cada nodo agrupa infinitos enteros, y su raíz digital y su paridad no determinan la paridad de los términos siguientes, que es la que gobierna la dinámica; por eso esta reducción delimita dónde tendría que estar una órbita no convergente, pero no decide si existe.

El capítulo estudia aplicaciones enteras definidas por clases de residuos, de la forma T(n) = (mᵢn + rᵢ)/d según n mod d, que generalizan la aplicación de Collatz. El comportamiento de sus órbitas queda gobernado por la deriva logarítmica, cuyo signo separa los sistemas en los que todas las órbitas terminan en ciclos de aquellos en que conviven ciclos largos con órbitas que escapan al infinito. Se examina también la construcción de sistemas con ciclos prescritos: cuando los extremos del ciclo tienen paridad distinta, los sistemas resultantes son conjugados afines de Collatz y su convergencia equivale a la propia conjetura; cuando tienen la misma paridad, aparece una rama de reflexión y una aplicación de tipo Collatz que no es conjugada de ella. En conjunto, el capítulo muestra que la dificultad del problema no reside en los ciclos que se eligen, sino en la dinámica que los rodea.

Dos escritos sobre la compresión de las trayectorias de Collatz. Ambos parten de la misma observación elemental: sobre los impares, la aplicación x↦(3x+1)/2 se convierte, mediante el cambio de variable y=x+1, en la multiplicación por 3/2. De ahí sale una representación que recorre una trayectoria conservando en torno al 15 % de sus términos, y de ahí sale también el límite de lo que esa representación puede dar: en los dos escritos se demuestra que la convergencia universal de la sucesión comprimida es equivalente a la conjetura de Collatz, y no un enunciado más débil del que aquella pudiera deducirse. El capítulo describe, pues, una reformulación del problema, no una vía hacia su solución.

Un sistema dinámico definido sobre los enteros no negativos y las mitades de impares mediante tres reglas afines. Su dinámica sobre los impares queda determinada por la clase módulo 8, lo que permite reducirla por etapas hasta un mapa de retorno cuyo crecimiento se localiza en dos clases de congruencia. La convergencia al ciclo 0–1 queda formulada como conjetura. Tres escritos posteriores estudian sus ciclos: el primero excluye los de una sola rama expansiva, el segundo extiende el mecanismo a un número fijo de expansiones, y el tercero obtiene una restricción más fuerte que eleva el resultado hasta diez.

Este capítulo reúne los escritos dedicados a la tabla 2-ádica de los números naturales, la disposición en la que cada natural n = 2^k·m, con m impar, ocupa la fila k de la columna encabezada por su raíz impar m. La tabla hace visible la descomposición de cada natural en su parte impar y su potencia de 2, y sirve a la vez como objeto de estudio y como escenario para la dinámica de Collatz. Como objeto, sus truncaciones tienen filas de longitud exacta, que en ciertos casos reproducen las potencias de 2 o los números de Jacobsthal, y su distribución límite es la medida de Haar de los enteros 2-ádicos. Como escenario, separa los dos mecanismos de cada trayectoria: las divisiones entre 2, que recorren una columna hasta su raíz, y los pasos impares, que llevan a la columna de otra raíz.

Este capítulo estudia las dos piezas en que se descompone la trayectoria de Collatz: los tramos de pasos impares consecutivos y las colas de divisiones entre 2 que los separan. La sección 15.4 describe con exactitud la distribución de las longitudes de cola sobre el conjunto de todos los impares. La 15.5 analiza los tramos impares en la dinámica semiacelerada.

Este capítulo fija el lenguaje con el que se lee la dinámica de Collatz en el resto de la obra. La descomposición única \(n=m\,2^k\) organiza los naturales en una tabla por columnas, independiente de la iteración: los pasos pares son descensos verticales y los pasos impares, cambios de columna. Sobre ese escenario se estudian la entrada al ciclo trivial, la altura \(2\)-ádica de cada salto impar y las restricciones que debe cumplir cualquier ciclo hipotético.

Este capítulo presenta una representación triangular exacta de ciertos tramos de las órbitas de Collatz. Para cada impar A, la valuación n = ν₂(A+1) determina una racha de n pasos consecutivos que puede representarse como un triángulo: divisiones por 2 desde A+1 hasta un impar u, y multiplicaciones por 3 hasta B+1 = 3ⁿu. Concatenando estos bloques con los descensos pares que los separan se obtiene una representación comprimida de la órbita, sin alterar la dinámica ni extraer conclusiones sobre convergencia o ciclos.

Este capítulo estudia un modelo tipo Collatz completamente analizable: g(n) = n/2 en los pares y (n + 9)/2 en los impares. Su dinámica se descompone en tres capas invariantes, determinadas por la valoración 3-ádica, y cada una contiene un único ciclo. Sobre las raíces digitales, g induce la multiplicación por 5 módulo 9. El modelo sirve de contraste con la dinámica de Collatz: ambas comparten la acción de las divisiones por 2, pero en Collatz la rama impar rompe las capas y los múltiplos de 3 se vuelven transitorios.

El problema 3/2 de Mahler y la conjetura de Collatz comparten un mismo factor básico de crecimiento, 3/2, pero lo controlan con mecanismos de naturaleza distinta: una reducción aditiva módulo 1 en Mahler y una reducción multiplicativa por potencias de 2, seleccionada por la aritmética 2-ádica de cada punto, en Collatz. Este capítulo formula esa comparación sin presuponer ninguna equivalencia entre ambos problemas, la pone a prueba con un experimento numérico controlado y documenta su resultado, que es negativo: fuera del tramo final de las órbitas sobre enteros pequeños, ninguna de las estadísticas cuyo contraste se ha completado distingue las valoraciones 2-ádicas de Collatz de un paseo aleatorio independiente con la misma regla de parada.

Este capítulo estudia el colapso 2-ádico del operador impar de Collatz en tres movimientos. El primero describe con exactitud la estructura local que ese colapso impone sobre los impares. El segundo construye dos formulaciones funcionales que lo separan del crecimiento multiplicativo, con el que en la dinámica clásica aparece inseparablemente mezclado. El tercero analiza, como sistema autónomo, la dinámica que resulta de fijar la profundidad del colapso en lugar de dejarla variar. La tesis que recorre las tres secciones es que la dificultad del problema no reside en ninguno de los dos mecanismos por separado, sino en su acoplamiento. Las secciones 25.1 y 25.3 la sostienen desde extremos opuestos: la primera muestra hasta dónde llega el control exacto mientras el colapso está acotado, y la tercera muestra que al fijarlo la complejidad característica desaparece, aunque no lo haga la dificultad demostrativa.

Este capítulo estudia cómo se reparten, entre las clases residuales módulo \(2^k\), los representantes canónicos \(1\le E

Este capítulo estudia la familia de funciones que dividen por dos, corrigiendo el caso impar con un desplazamiento fijo. Se demuestra que, para parámetro impar, no hay factor expansivo ni colapso de profundidad variable: la iteración es una permutación de un conjunto finito que actúa como multiplicación por el inverso de dos, y su estructura cíclica queda enteramente determinada por órdenes multiplicativos. La Sección 28.1 establece el marco y obtiene la estructura completa, incluidos los elementos no coprimos con el parámetro, mediante una relación de autosemejanza que reduce cada clase de divisibilidad al mismo problema para un módulo menor. La Sección 28.2 aplica el resultado al caso primo, donde la pertenencia al conjunto de Artin S(2) equivale a la aparición de un único ciclo, y describe con precisión la fragmentación fuera de él. El capítulo no aborda la conjetura de Artin: traduce a lenguaje dinámico propiedades conocidas del orden de dos.

Este capítulo aborda la dinámica de Collatz en dos movimientos. Primero fija el recinto: tras el primer impar ningún término es múltiplo de tres, de modo que todos caen en el grupo de unidades módulo nueve. Se precisa, sin embargo, que ese cierre no impone ninguna restricción adicional, porque el refinamiento a módulo nueve depende por entero de la valuación 2-ádica y no aporta información independiente de la clase módulo tres. Dentro de ese recinto se describe con exactitud el tramo impar asociado a la descomposición n=m2^k−1: su longitud, el tipo módulo cuatro de cada término, el valor par que lo cierra y la longitud de su cola. El mecanismo que impide que las rachas de crecimiento se prolonguen resulta así aritmético y no estadístico; el encadenamiento de tramos sucesivos queda expresamente fuera de su alcance.

Este capítulo construye una representación tabular de la divisibilidad, en la que la celda de la fila \(n\) y la columna \(k\) se marca si y solo si \(k\mid n\), y la utiliza como escenario geométrico. Primero como estructura estática, donde las potencias primas, los números perfectos y la primalidad aparecen como rasgos visibles; después como escenario de la dinámica de Collatz, donde cada cola \(2\)-ádica de una órbita se lee como un descenso vertical por una columna de la tabla. El capítulo no pretende resolver la conjetura, sino mostrar qué hace visible una representación adecuada y qué queda fuera de su alcance.

Este capítulo describe la órbita de Collatz como una concatenación de tramos: cadenas de impares de la forma \(4n+3\) cerradas por un impar \(4n+1\), seguidas de una cola \(2\)-ádica. La evolución dentro de cada tramo queda completamente determinada por la expansión binaria de su valor inicial, y toda la dificultad de la dinámica se concentra en el encadenamiento de tramos. El capítulo separa con precisión lo que se demuestra (la estructura exacta de cada tramo, la ley de los tramos bajo la medida de Haar, el primer descenso con densidad \(1\)) de lo que permanece abierto: el comportamiento de la órbita de cada entero concreto.

Este capítulo describe la órbita de Collatz por bloques en lugar de término a término. Cada trayectoria se descompone en rachas de impares consecutivos, que terminan siempre en un impar 4n+1, y en los pares visibles que las acompañan. La descripción es local y completamente algebraica: no persigue un mecanismo de descenso global, sino aislar qué parte de la dinámica está determinada de antemano por la expansión binaria del punto de partida.

El hilo que recorre el Capítulo 50 es el mapa de retorno verde; pero para llegar a él con solidez conviene empezar por su cimiento. El Capítulo 50 reorganiza el estudio de los ciclos de Collatz cambiando el objeto de partida: no los números, sino la tabla de tramos y su estructura. La observación central es que esa tabla recubre los impares con repetición, y que una reducción canónica la parte en fibras finitas, cada una con un representante mínimo. Sobre esos representantes —las columnas mínimas— la dinámica de Collatz se proyecta como una aplicación, el mapa de retorno verde, cuyo grafo funcional traduce el problema de los ciclos en el de sus bucles. El capítulo recorre esa cadena en orden: la descomposición en fibras (estructura estática), la dinámica inducida y su grafo, el punto fijo (resuelto vía Steiner) y el primer caso abierto, los 2-ciclos. Conviene decirlo desde el principio: esta es una reorganización del problema, no una solución. La finitud de las fibras y la estructura del grafo son incondicionales; la convergencia de las órbitas —la no-divergencia y la unicidad del ciclo trivial— permanece abierta. El valor del capítulo está en el cambio de nivel: de los enteros a las fibras, y de estas a la dinámica entre sus representantes.

Este capítulo reúne diez escritos que nacen de una misma pregunta: qué estructura aparece cuando la iteración de Collatz se piensa como un proceso material, como un juego y, finalmente, como un posible sistema de computación. La primera sección parte de un modelo con canicas y extrae de él estructuras aritméticas (parejas, ternas, reservas) y una lectura en términos de la teoría de juegos de Conway. La segunda sección, la serie «Collatz e indecidibilidad», sigue la pista de la construcción de Conway de 1972. Estudia qué impide que la función de Collatz sea universal por ese mecanismo, qué tiene de específico el número 3, y hasta dónde puede demostrarse que los numeradores de los ciclos se reparten al azar. La serie separa en todo momento lo demostrado de lo conjetural, y termina situando con precisión el obstáculo que sigue abierto: demostrar que el resto 0 no se alcanza.

En un ciclo de la aplicación impar F(u) = (3u+1)/2^{ν₂(3u+1)}, los exponentes iguales a 1 se agrupan en bloques: las subidas de más de un paso impar. Este capítulo estudia qué restricciones impone el cierre de un ciclo sobre esos bloques. Parte de una descripción de la órbita mediante memorias binarias y acarreos, y llega a la exclusión de todos los ciclos no triviales con uno, dos o tres bloques de exponentes iguales a 1, con longitudes arbitrarias y sin limitar el número de mínimos locales. Los resultados se apoyan en trabajos de Böhm y Sontacchi, Eliahou, Ellison, Matveev, Luca, Hercher y Puchert, entre otros, que se citan en cada escrito. El caso general, con cuatro o más bloques, sigue abierto.

Más allá de su célebre conjetura, Lothar Collatz fue un hombre polifacético. Investigador brillante, profesor apasionado y rector universitario, cultivó una relación profunda con las matemáticas y con las personas que lo rodeaban. Obtuvo siete doctorados honoris causa, y sus colegas lo describían como una persona modesta, amable y siempre dispuesta a ayudar. Su curiosidad trascendía las aulas: disfrutaba del dibujo, la geometría y la pintura, creando obras que regalaba a sus amistades. También ideó juegos recreativos con estructuras matemáticas, donde forma, ingenio y belleza se entrelazaban. Este capítulo reúne materiales que muestran esa dimensión humana y creativa: documentos, fotografías, cerámicas, dibujos, pinturas y objetos personales que permiten descubrir no solo al matemático, sino al profesor que inspiró a generaciones.

Aficionado autodidacta, sin formación académica en matemáticas. Mi interés por esta disciplina se remonta a varias décadas, con una trayectoria de estudio personal recogida en cuadernos manuscritos y exploraciones propias, centrada principalmente en la conjetura de Collatz y en sistemas dinámicos discretos inspirados en ella. Los escritos publicados hasta 2025 fueron redactados íntegramente por mí, con los recursos expresivos de que disponía y de la mejor manera que supe hacerlo en cada momento. Su carácter es fundamentalmente exploratorio y no siempre se ajusta a las convenciones del discurso científico formal: responden al ejercicio personal de observar, experimentar y formular conjeturas. A partir de 2025 incorporo herramientas de inteligencia artificial como asistencia en la redacción, la estructuración, la formalización y la presentación de los textos. La autoría, el contenido matemático y la dirección conceptual del trabajo siguen siendo míos; la inteligencia artificial actúa como apoyo editorial y de formalización, no como fuente de las ideas ni de los resultados. Mi investigación se centra en la dinámica de Collatz, el desarrollo de funciones afines y variantes pseudo-collatzianas, y la identificación de patrones estructurales en secuencias iterativas. El enfoque combina intuición, experimentación y formalización progresiva, con el propósito de aportar una perspectiva propia al estudio de estos sistemas.