Capítulo 0: La conjetura de Collatz y sus funciones generadoras

Este capítulo presenta los fundamentos esenciales para comprender el conjunto de estudios que conforman esta web. La conjetura de Collatz, también conocida como el problema \(3n+1\), plantea una pregunta sencilla y aún sin resolver: ¿se reduce a 1 toda secuencia generada por una función específica aplicada repetidamente a cualquier número natural positivo?

La función clásica de Collatz se define así:

\[ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{si } n \text{ es par} \\ 3n + 1 & \text{si } n \text{ es impar} \end{cases} \]

Partiendo de un número natural \(n\), se genera una secuencia aplicando esta función a cada término sucesivo. La conjetura afirma que toda secuencia así generada eventualmente alcanza el ciclo 4 → 2 → 1, sin importar el número inicial.

Además de la versión clásica, existe una versión simplificada que aplica la función solo a los números impares. Dado que todo número par puede expresarse como potencias de dos multiplicando a un impar, la versión simplificada condensa los pasos de la función clásica, enfocándose únicamente en la evolución de los impares:

\[ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & \text{si } n \text{ es par} \\ \frac{3n + 1}{2} & \text{si } n \text{ es impar} \end{cases} \]

Esta variante reduce la longitud de las secuencias sin alterar el destino final, y resulta especialmente útil para estudiar patrones, estructuras ocultas y comportamientos análogos.

Este capítulo cero cumple una función introductoria y referencial. Aquí se establecen las bases necesarias para abordar los capítulos siguientes, donde se exploran temas como raíces digitales, ciclos intermedios, grafos dirigidos y otras herramientas analíticas aplicadas al estudio de estas secuencias.

Sección 0.1