Variantes y conjugaciones
Un sistema dinámico definido sobre los enteros no negativos y las mitades de impares mediante tres reglas afines. Su dinámica sobre los impares queda determinada por la clase módulo 8, lo que permite reducirla por etapas hasta un mapa de retorno cuyo crecimiento se localiza en dos clases de congruencia. La convergencia al ciclo 0–1 queda formulada como conjetura. Tres escritos posteriores estudian sus ciclos: el primero excluye los de una sola rama expansiva, el segundo extiende el mecanismo a un número fijo de expansiones, y el tercero obtiene una restricción más fuerte que eleva el resultado hasta diez.
Un algoritmo sobre enteros y mitades de impares, con tres reglas afines. Su dinámica en los impares depende solo de la clase módulo 8 y se reduce a un mapa de retorno cuyas ramas, extendidas a los 2-ádicos, resultan completas. Convergencia al ciclo 0–1 conjeturada, verificada hasta 2×10⁶.
No existen ciclos del mapa de retorno con una sola rama expansiva. La demostración enfrenta dos cotas, $d\leq65$ por trascendencia y $d\geq179$ por fracciones continuas, y admite una segunda vía independiente por enumeración. Análogo del teorema de Steiner para 3n+1.
No existen ciclos del mapa de retorno con nueve ramas expansivas o menos. La demostración enfrenta una cota superior por trascendencia con una cota inferior por comprobación directa, y se apoya en un lema de optimización con constante óptima. El método no se extiende a todos los casos simultáneamente.
Una segunda restricción sobre los ciclos, obtenida contabilizando exponentes en lugar de comparar factores. Mejora la anterior en un factor 1,23 y eleva el resultado a diez ramas expansivas. Se demuestra que su coeficiente es óptimo.