I. Un marco geométrico para la divisibilidad: potencias primas, números perfectos y caracterización de primalidad Se construye una tabla triangular en la que la celda de la fila \(n\) y la columna \(k\) se marca si y solo si \(k\mid n\), de modo que cada fila muestra los divisores de un número y cada columna sus múltiplos. Sobre ella, las potencias primas \(p^k\) se reconocen por una cadena única de divisores en progresión geométrica de razón \(p\), y los números perfectos pares \(2^{p-1}(2^p-1)\) por dos cadenas paralelas que no se entrelazan. Se demuestra un criterio diagonal de primalidad: un impar \(p\ge3\) es compuesto si y solo si existe \(n\) en la región previa \(\mathcal{M}(p)=\{\frac{p+1}{2},\dots,p-2\}\) con \((p-n)\mid n\), y el número de tales \(n\) es exactamente \(d(p)-2\). El criterio no aporta mejora algorítmica: su interés es reorganizar la primalidad como una propiedad interna de la región inmediatamente anterior al número. 📄 Ver PDF II. Reinterpretación geométrica de la dinámica de Collatz: colas 2-ádicas como descensos verticales La órbita de Collatz se representa sobre la tabla de divisibilidad del Escrito I como una alternancia de saltos impares \(n\mapsto3n+1\) y descensos \(2\)-ádicos. Si \(3n+1=m\cdot2^{\ell}\) con \(m\) impar, todos los términos de la cola son múltiplos de \(m\): la cola desciende por la columna \(C(m)\) del impar de destino y termina exactamente en la celda diagonal \((m,m)\), donde esa columna empieza. La longitud \(\ell=\nu_2(3n+1)\) se lee además en la fila de partida, como la mayor potencia de \(2\) marcada en ella. La lectura vertical vale para cualquier dinámica que elimine sucesivamente los factores de un primo; lo específico de Collatz es el salto. La longitud media de las colas sobre todos los impares es \(2>\log_2 3\), lo que hace heurísticamente plausible una deriva descendente, pero no excluye una órbita excepcional. 📄 Ver PDF Volver al Capítulo