El índice por temas recorre los capítulos en el orden del menú lateral, con todas sus secciones. El índice analítico, al final, permite localizar un concepto, un objeto o un resultado y lleva a las secciones donde se trata. Buscar en el índice Ninguna entrada contiene ese texto. Prueba con otra palabra o borra la búsqueda. Índice por temas Introducción La conjetura de Collatz — Fundamentos Sección 1.0: El problema original de Collatz (1932) Sección 1.1: Función clásica de Collatz definida en su conjetura. Sección 1.2: La función simplificada divide entre dos el resultado par tras aplicar la función a un impar. Sección 1.3: La función acelerada sobre impares Sección 1.4: Variantes de la función de Collatz. Secuencias personalizadas Sección 2.1: Esta sección reúne los primeros escritos (2019–2020), que se conservan como registro histórico del origen de este trabajo. Contienen ideas que después se desarrollaron y demostraron con rigor, en particular en los capítulos 21 (estructura triangular), 22 (raíces digitales) y 25 (Estructura y separación del colapso 2-ádico); algunas de sus conclusiones sobre la convergencia no están demostradas. Sección 2.3: Las Secuencias Cíclicas Programadas (SCP) son una familia de secuencias numéricas generadas por funciones diseñadas específicamente para forzar la convergencia hacia un ciclo final de tres términos. Estas funciones iterativas se definen por la paridad del número y están asociadas a un grupo modular, determinado por la raíz digital de los términos que componen el ciclo. Las secuencias cíclicas programadas parecían funciones diseñadas para converger a un ciclo prefijado de tres términos, como 13 → 7 → 4 o 12 → 6 → 3. En realidad forman una sola familia, y cada una de ellas es la función de Collatz escrita en otra coordenada, de modo que su convergencia equivale a la conjetura de Collatz. Sección 2.4: Una variante de la función de Collatz que aplica 3m + 1 o 3m − 1 según la clase del impar módulo 4. Esta elección garantiza que cada paso impar divida al menos por 4, lo que permite demostrar la convergencia de todas las órbitas y compararla con precisión con la función de Collatz. Tramos y órbitas Identificación de tramos — Identificación de tramos intermedios. Sección 3.1: Esta sección recoge la relectura, en septiembre de 2026, de las tablas de impares y pares que el autor elaboró en agosto de 2019. El escrito describe cómo terminan las columnas de impares de la tabla y cómo se organizan los bloques de pares que separan un impar del siguiente, y precisa qué propiedades de las tablas son exactas y cuáles solo describen la tabla y no las órbitas. El estudio general de los tramos impares y pares, con sus tablas y triángulos 2-ádicos, continúa en la sección 3.2. Sección 3.2: Teoría de Tramos. Esta sección establece el marco fundacional del conjunto de estudios, introduciendo los conceptos, estructuras y herramientas necesarias para describir la dinámica de Collatz desde una perspectiva 2-ádica y estructural, previa a cualquier análisis particular o aplicación específica. Estructura de tramos — Collatz.es - Capítulo 15 Sección 15.4: Lema de densidad 2-ádica y familias 4-ádicas. Sección 15.5: Tramos impares en la dinámica semiacelerada de Collatz: descomposición triangular, identidad de extremos y particiones generadas por el parámetro impar. Sección 15.6: Se estudia la variación entre el primer impar de una racha de la función acelerada de Collatz y el primer impar que sigue a la racha siguiente. Cada par de rachas consecutivas queda descrito por cuatro enteros: las longitudes de las dos rachas y las valoraciones 2-ádicas con que terminan. Para cada cuaterna se obtienen una identidad exacta, la clase de congruencia de los impares que la realizan y una fórmula para el menor de ellos. Estructura triangular — Collatz.es - Capítulo 21 Sección 21.1: Estructura triangular y compresión de órbitas en la dinámica de Collatz Tramos y deriva orbital — Collatz.es - Capítulo 31 Sección 31.1: Tramos, coordenadas y deriva orbital Descomposición estructural — Collatz.es - Capítulo 33 Sección 33.1: Dinámica proyectada de los pares Estructura 2-ádica Tabla 2-ádica — Collatz.es - Capítulo 9 Sección 9.1: Todo natural se escribe de forma única como n = 2^k·m, con m impar. Al colocar cada n en la fila k de la columna de raíz m se obtiene una tabla que contiene cada natural exactamente una vez. Los dos escritos de esta sección la estudian desde dos lados: el primero la usa como escenario de la dinámica de Collatz, en el que las divisiones entre 2 son movimientos dentro de una columna y los pasos impares cambian de columna; el segundo estudia la tabla en sí, en particular las longitudes exactas de las filas cuando se trunca en un natural N. El generador permite explorar ambas cosas. El escenario de Collatz — Collatz.es - Capítulo 20 Sección 20.1: Escenario, rincones y alturas del salto impar. Mahler y Collatz — Collatz.es - Capítulo 23 Sección 23.1: Dos escritos que forman un par. El primero plantea la comparación entre ambos mecanismos y propone un experimento; el segundo lo realiza y cierra la línea, reuniendo los resultados exactos que se sostienen, la explicación del llamado corredor de 233, cuyo exceso está dominado por un tramo de la órbita de 27 compartido por muchas trayectorias, y un catálogo de seis trampas metodológicas encontradas por el camino. El colapso 2-ádico — Collatz.es - Capítulo 25 Sección 25.1: Estudio autocontenido del operador impar T(m) sobre un escenario estático que reparte los impares en dos filas disjuntas. Se demuestra que la partición no es una elección arbitraria de congruencias: la fila principal coincide exactamente con el conjunto de impares cuyo colapso no excede de dos. Sobre ella el operador es una biyección afín a trozos hacia los impares coprimos con 3, y selecciona para cada uno su preimagen de colapso mínimo, de modo que la fila principal es una sección inversa canónica. Cada fibra resulta ser la órbita de esa preimagen mínima bajo x↦4x+1, y la fila complementaria es exactamente el conjunto de preimágenes no mínimas. Se describen después las transiciones entre clases módulo potencias de dos, cuantificando cuántos niveles de precisión consume cada iteración, y se muestra que la clase módulo 3 de una imagen registra únicamente la paridad del exponente de colapso. Una nota de procedencia sitúa el origen del material en notas de trabajo de julio de 2018. Sección 25.2: Se introducen dos formulaciones funcionales sobre el conjunto ampliado Z∪(Z+1/2), que incorporan de manera distinta las divisiones por potencias de dos. La primera, F_1, no descompone el paso entre impares en regímenes afines, como podría parecer, sino en dos mecanismos de naturaleza distinta: un descenso dentro de una fibra y un puente que ejecuta el paso. Se prueba que su rama impar es la inversa del generador x↦4x+1, que dos pasos reproducen el operador impar sobre la fila principal, y que la longitud del descenso vale ⌈v2(3m+1)/2⌉−1: la profundidad del colapso queda medida y no oculta. La separación que F_1 consigue es, por tanto, sólo de presentación, y su dinámica subyacente conserva íntegra la dificultad clásica. La segunda, F_2, fija los divisores de cada rama y traslada la información del colapso al tipo de estado visitado; ahí la separación sí es efectiva. Sección 25.3: Se estudia F_2 como sistema autónomo, sin referencia comparativa hasta la sección final. El cambio de variable y=2x la convierte en una aplicación entera de tres ramas afines con divisores fijos. Se determinan sus puntos fijos y se prueba que ningún ciclo puede tener multiplicador uno, de donde no existen ciclos positivos formados sólo por estados semienteros. Se demuestra después que la palabra de las n primeras ramas queda determinada módulo 4^n y que cada palabra con a ramas expansivas procede de exactamente 2^a clases, lo que fija la medida inducida y convierte cualquier pregunta sobre n pasos en una pregunta sobre variables independientes. De ahí se obtienen dos resultados: ningún iterado es uniformemente contractivo, y casi todo entero positivo tiene tiempo de parada finito con cota explícita. La convergencia global, verificada sobre más de doscientos mil estados, queda abierta. Una sección final compara la dinámica con la clásica y delimita qué comparten y qué no. Cierre modular y equilibrio — Collatz.es - Capítulo 29 Sección 29.1: Se demuestra que la descomposición n=m2^k−1 determina el tramo impar por completo: consta de exactamente k términos, dados en forma cerrada por n_j=3^jm2^(k−j)−1, de los cuales los k−1 primeros son de tipo 4n+3 con colapso unitario y el último es de tipo 4n+1. Se obtienen además el par de cierre 3^km−1, el cociente (3/2)^k que el tramo aplica a n+1, y la longitud exacta de la cola par que lo sigue. De ello se sigue que las rachas de impares de tipo 4n+3 tienen longitud prescrita por la valuación de n+1 y no pueden concatenarse indefinidamente. Aritmética modular Raíces digitales y Z∗9 — Raíces digitales y grafos dirigidos. Sección 4.1: Si Collatz definió su conjetura inspirado en sus investigaciones para representar las funciones aritméticas mediante grafos, es posible que la solución al problema se encuentre dentro de la teoría de grafos. Si bien es imposible representar todos los números naturales en un grafo finito, sí se pueden representar los grupos de números clasificados según su raíz digital y su paridad. Dinámica modular con k = 9 — Collatz.es - Capítulo 22 Sección 22.1: Dinámica modular tipo Collatz con k = 9: estructura cı́clica y proyección por raı́ces digitales Unidades módulo 3ⁿ — Collatz.es - Capítulo 26 Sección 26.1: Periodicidad y clasificación de las distribuciones \(m_n(r)\) Mediante una regularización de paridad, las unidades módulo \(b^n\) definen una multiplicidad \(m_n(r)\) sobre las clases impares módulo \(2^k\). Esta sección reúne tres escritos. El primero establece, para \(b=3\), la periodicidad afín exacta de esas distribuciones y las clasifica por completo módulo \(256\). El segundo extiende la clasificación a todo módulo \(2^k\) e identifica en ella la sucesión de Jacobsthal. El tercero generaliza el estudio a toda base prima impar \(b\), expresa el invariante central mediante sumas de Dedekind con una cota óptima y caracteriza las bases sin casos frontera como los primos de Mersenne. Acciones multiplicativas — Collatz.es - Capítulo 28 Sección 28.1: Las funciones g_k como acción multiplicativa: estructura cíclica completa. (marco general, autosemejanza y predicción exacta de los ciclos) Sección 28.2: Caracterización dinámica del conjunto de Artin S(2). (el caso primo: ciclo único, índice del subgrupo y fragmentación) Variantes y conjugaciones Collatz generalizado — Collatz.es - Capítulo 5 Sección 5.1: Esta sección reúne tres estudios sobre aplicaciones enteras definidas por clases de residuos. El primero las clasifica según el signo de su deriva logarítmica, que separa los sistemas en los que todas las órbitas acaban en ciclos de aquellos en que muchas escapan al infinito. El segundo muestra que los sistemas construidos a partir del 3-ciclo prescrito (C + 9, C + 3, C) son conjugados afines de Collatz, de modo que heredan sus ciclos y toda su dificultad. El tercero trata el 3-ciclo (C + 6, C + 3, C), cuyos sistemas se reducen a una aplicación con rama de reflexión que no es conjugada de Collatz. Conjugación y compresión — Collatz.es - Capítulo 6 Sección 6.1: Las secuencias SP, SPI y SPP Sección 6.2: Conjugación y estructura de tramos Sección 6.3: Dos iteraciones conjugadas Iteración sobre diádicos — Collatz.es - Capítulo 7 Sección 7.1: Un algoritmo sobre enteros y mitades de impares, con tres reglas afines. Su dinámica en los impares depende solo de la clase módulo 8 y se reduce a un mapa de retorno cuyas ramas, extendidas a los 2-ádicos, resultan completas. Convergencia al ciclo 0–1 conjeturada, verificada hasta 2×10⁶. Sección 7.2: No existen ciclos del mapa de retorno con una sola rama expansiva. La demostración enfrenta dos cotas, $d\leq65$ por trascendencia y $d\geq179$ por fracciones continuas, y admite una segunda vía independiente por enumeración. Análogo del teorema de Steiner para 3n+1. Sección 7.3: No existen ciclos del mapa de retorno con nueve ramas expansivas o menos. La demostración enfrenta una cota superior por trascendencia con una cota inferior por comprobación directa, y se apoya en un lema de optimización con constante óptima. El método no se extiende a todos los casos simultáneamente. Sección 7.4: Una segunda restricción sobre los ciclos, obtenida contabilizando exponentes en lugar de comparar factores. Mejora la anterior en un factor 1,23 y eleva el resultado a diez ramas expansivas. Se demuestra que su coeficiente es óptimo. Ciclos El mapa de retorno verde Sección 50.1: Los seis escritos de este capítulo estudian el mapa de retorno verde, primer retorno de la dinámica de Collatz a los impares congruentes con 1 módulo 4, cuyo origen visual es la tabla de columnas. Se establecen sus formas cerrada y afín, la reducción de los tramos a fibras finitas y su representación como grafo funcional, cuyos bucles corresponden a los ciclos no triviales. Los ciclos del mapa se tratan después según su longitud (punto fijo, 2-ciclos y k-ciclos), mediante una reducción por niveles a cribas elementales. El cierre de cada caso remite a los resultados de Steiner, Simons y Simons–de Weger. Acarreos y cierre de ciclos — Collatz.es - Capítulo 52 Sección 52.1: Memorias binarias, acarreos y cierre de ciclos Sección 52.2: Ciclos de Collatz con un único bloque de exponentes unitarios Sección 52.3: Bloques de exponentes unitarios en los ciclos de Collatz: todo ciclo no trivial tiene un bloque corto Sección 52.4: Ciclos de Collatz con exactamente dos bloques de exponentes unitarios Sección 52.5: El bloque más largo de exponentes unitarios en los ciclos de Collatz Sección 52.6: Ningún bloque de exponentes unitarios es demasiado largo: ciclos de Collatz con tres bloques Sección 52.7: Los ciclos no triviales del problema 3x+1 tienen al menos cuatro bloques de exponentes unitarios Sección 52.8: Una demostración del Lema Clave mediante la cota de Ellison Palabras de exponentes — Collatz.es - Capítulo 53 Sección 53.1: Los dos escritos de esta sección forman una serie. El primero trata las perturbaciones con un único incremento y el segundo las de varios incrementos. Las palabras consideradas tienen muchos bloques cortos de exponentes unitarios, por lo que quedan fuera del alcance del resultado del Capítulo 52, que excluye los ciclos con a lo sumo tres bloques. Otras perspectivas Geometría de la divisibilidad — Collatz.es - Capítulo 30 Sección 30.1: Serie de dos escritos que forman una pareja. El primero construye la tabla de divisibilidad como escenario estático y lee sobre ella familias aritméticas clásicas. El segundo hace que la órbita de Collatz se mueva sobre ese escenario, separando las relaciones que ya pertenecían a la tabla de los movimientos que introduce la iteración. Canicas e indecidibilidad — Collatz.es - Capítulo 51 Sección 51.1: El modelo material Sección 51.2: Collatz e indecidibilidad Otros temas Valores primos de polinomios — Collatz.es - Sobre números primos Sección P.1: Esta sección reúne dos escritos sobre los polinomios n² + n + p, con p primo, que generan un tramo inicial de valores primos. El primero estudia la estructura de los valores que siguen a ese tramo en los seis polinomios de Rabinowitsch. El segundo determina la longitud del tramo inicial para un primo cualquiera, mediante congruencias, la aritmética del cuerpo cuadrático asociado y las formas cuadráticas reducidas. Sección P.2: Un escrito sobre enteros n para los que varias expresiones lineales en n son primas a la vez. Se estudian las restricciones que impone la divisibilidad por primos pequeños, la admisibilidad del sistema de formas y la predicción conjetural de Bateman–Horn, que se compara con recuentos numéricos. Temas varios Sección E.3: En esta sección se presenta un problema aritmético elemental —las particiones binarias de los números naturales— para mostrar cómo restricciones profundas como la paridad, la simetría y el crecimiento aparecen incluso en ausencia de dinámica iterada. Incluido en el Epílogo como contrapunto al análisis de la conjetura de Collatz, el escrito ilustra que muchas de las barreras estructurales que dificultan el estudio de sistemas iterativos complejos están ya presentes en problemas estáticos sencillos, y no dependen exclusivamente del proceso de iteración. Sección E.4: Esta sección introduce una representación tabular de la divisibilidad como marco geométrico para la estructura multiplicativa de ℕ. El escrito no propone nuevos resultados ni técnicas de iteración, sino una lectura estructural que permite visualizar propiedades aritméticas clásicas y reinterpretar la dinámica de Collatz como recorridos inducidos sobre un escenario estático Sección E.5: Esta sección ofrece una lectura narrativa y estructural de una ley simple aplicada de manera reiterada, examinando sus efectos acumulativos en el sistema. El texto combina relato, observación y razonamiento elemental para explorar la relación entre reglas locales y comportamiento global, y funciona como cierre conceptual del recorrido principal. Sección E.6: Este escrito presenta Las Tablas Triangulares como la invención de un juego matemático estructurado, describiendo sus reglas, componentes y fundamento formal. Sin embargo, más allá de su dimensión lúdica y pedagógica, el objetivo real del texto es introducir una vía directa hacia la conjetura de Collatz. En particular, el juego actúa como modelo dinámico que permite visualizar y recorrer secuencias mediante tramos encadenados, reproduciendo de forma tangible la lógica de iteración par/impar propia de Collatz. Así, la mecánica del juego no es solo recreativa, sino una herramienta conceptual para explorar su dinámica interna. Sección E.7: En esta sección se reúnen dos escritos sobre un mismo problema elemental: obtener la raíz cúbica entera de un número conociendo solo su cubo. El primero reconstruye y completa una nota de 2014, anterior al comienzo del estudio de la conjetura de Collatz, en la que la raíz se expresaba mediante el resto del cubo módulo 12 y una corrección por determinar; la nota original se reproduce en apéndice, separada del desarrollo posterior. El segundo representa las treinta clases módulo 30 en seis pentágonos y muestra que elevar al cubo intercambia en cada uno dos posiciones vecinas, de modo que la clase de la raíz se lee directamente en la del cubo. Epílogo Notas finales Nota E.1: Esta sección recoge los primeros escritos desarrollados a lo largo de varios años de exploración del problema de Collatz. Se trata de un archivo completo de notas, borradores y estudios preliminares, donde aparecen por primera vez muchas de las ideas, intuiciones y preguntas que han guiado el trabajo posterior. Estos textos no se presentan como resultados cerrados, sino como testimonio del proceso de investigación: un espacio de experimentación en el que se ensayan enfoques, se cometen errores productivos y se reconocen patrones que más tarde serán reformulados con mayor precisión. Nota E.2: Se examina la conjetura de Collatz desde una perspectiva conceptual, centrada en la distancia entre una regla local sencilla y perfectamente conocida y una afirmación que se refiere al destino de todas las órbitas. Se consideran la representación de la dinámica sobre la partición 2-ádica de los números naturales, la asimetría lógica entre refutar y demostrar la conjetura y las formas que podría adoptar una demostración. El texto no propone una solución ni una técnica nueva; su propósito es formular con mayor precisión en qué consiste la dificultad del problema y por qué esta persiste aunque cada paso de la iteración sea exactamente conocido. Nota E.3: Esta sección reúne dos notas sobre la formulación inversa de la conjetura de Collatz. La primera presenta el número 1 como raíz del árbol de preimágenes y expone la equivalencia entre la convergencia de todas las órbitas directas y la cobertura de los enteros positivos por ese árbol. La segunda examina la distancia entre cubrir todas las clases residuales y cubrir todos los enteros, y delimita el alcance de ciertos argumentos modulares y de conteo. Ninguna de las dos propone una demostración: su propósito es precisar qué aporta la perspectiva inversa y qué queda fuera de su alcance. Índice analítico A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V A Acción multiplicativa de las funciones g_k: 28.1 Altura del salto impar ν₂(3m + 1): 20.1, 31.1 Árbol inverso: cobertura modular y densidad: Nota E.3, 21.1 Artin, conjunto S(2) de la conjetura de: 28.2 B Benford, ley de: 9.1 Bloques de exponentes unitarios en los ciclos: 52.1, 52.2, 52.3, 52.4, 52.5, 52.6, 52.7 C Canicas (modelo material de la iteración): 51.1 Chernoff, cota de (sumas de valuaciones): 31.1 Ciclo 0–1 (sistema afín sobre diádicos): 7.1, 7.2, 7.3, 7.4 Ciclo 13–7–4: 2.1, 2.3 Ciclos de Collatz: condiciones de cierre: Cap. 52, Cap. 53, 50.1, 20.1 Ciclos del grafo de raíces digitales (C6, C11): 4.1 Ciclos negativos de Collatz: 5.1 Cierre modular (unidades módulo 9): 29.1 Colapso 2-ádico: 25.1, 25.2, 25.3 Columnas mínimas, grafo funcional de las: 50.1 Compresión de órbitas: 21.1, 6.2, 31.1 Conjugación afín: 2.3, 5.1, 6.3 Conjugación y = x + 1: 6.2, 21.1 Conway: juego de Collatz y FRACTRAN: 51.1, 51.2 Coordenadas (m, K) y mapa de tramo: 31.1 Cota de Ellison: 52.8, 15.6 Cubos: pentágono y raíces cúbicas enteras: Temas varios D Deriva logarítmica de aplicaciones generalizadas: 5.1 Deriva orbital y acotación de las órbitas: 31.1 Descenso tras dos rachas: 15.6 Dinámica modular con k = 9: 22.1 Distribución de 3^n módulo 2^k: 26.1 Divisibilidad, representación tabular de la: 30.1 Dos formulaciones de una dinámica tipo Collatz: 25.2 E Escenario 2-ádico (tabla de los naturales): 9.1, 20.1, 30.1 Escritos históricos (2019–2021): 2.1 Exclusión de familias de palabras de exponentes: 53.1 F Familia A = C + 9 (conjugados afines): 5.1 Familia A − C = 6 (rama de reflexión): 5.1 Familia fija de triángulos T(a): 21.1, 31.1 Fibras finitas de los tramos: 50.1 Fragilidad de la sincronización: 3.2 Frecuencias residuales módulo 8: 31.1 Función acelerada sobre impares: 1.3 Función clásica de Collatz: 1.1 Función simplificada (3n + 1)/2: 1.2 Funciones F y G (3n + 1 y 3n − 1): 6.3 G Generación por 4x + 1: Cap. 25 Grundy, valores de (OEIS A400826): 51.1 H Haar, medida de: 9.1, 31.1 I Indecidibilidad: 51.2 J Jacobsthal, números de: 9.1 K Korec, cota de: 31.1 L Lema Clave: 52.8 Límites de los enfoques sobre la conjetura: Nota E.2 Lógica imaginaria (libro): Nota E.1 M Mahler y Collatz: reducciones asociadas a 3/2: 23.1 Mapa de retorno verde: 50.1 Mersenne, números de: 9.1 Mitades de impares (semienteros): 7.1, 25.2 N Numeradores de ciclo: 51.2 Número 1 como origen estructural: Nota E.3 Números perfectos y criterio de primalidad: 30.1 O Órbita de 23: 25.2 Órbita de 39: 21.1 Orígenes del problema de Collatz: 1.0 P Pares, dinámica proyectada de los: 33.1 Paso obligado por 16 hacia el ciclo trivial: 20.1 Permutación de Collatz de 1932: 1.0, 2.4 Perturbaciones de la palabra (1,2)^q: 53.1 Predecesores de un impar: 21.1, 20.1 R Raíces digitales (módulo 9): 4.1, 5.1, 22.1 Records, proceso de: 31.1 Reina Lota (fábula divulgativa): Temas varios Reseteo de un tramo y contracción neta: 31.1 S Simons, teorema de: 50.1 SP, SPI y SPP, secuencias: 6.1 Steiner: circuitos y horquilla: 50.1 T Tablas de impares y pares (2019): 3.1, 3.2 Teatro: el algoritmo de Collatz en una tabla: 20.1 Tiempo de parada con densidad 1: 31.1 Tramos impares y pares: 3.1, 3.2, 15.5, 15.6, 29.1, 31.1 Triángulos 2-ádicos: 3.2, 21.1, 31.1 U Unidades módulo 3^n: Cap. 26 V Valoración 3-ádica y capas invariantes: 22.1 Valoraciones 2-ádicas a lo largo de las órbitas: 23.1 Valores primos de polinomios: Valores primos de polinomios Variantes de la función de Collatz: 1.4, 2.4, 5.1, Cap. 7 Volver al Prólogo