Escritos I-XI, La reducción analítica. Establece la cadena de reducción exacta que lleva D1 a un núcleo analítico. Tras factorizar $\lVert\Pi(R_k)\rVert_2$, D1 se reduce sucesivamente al factor de concentración $\alpha_k=O(1)$ y a un conteo de colisiones $N_{\mathrm{col}}=O(2^k)$; un autómata $2$-ádico y el análisis de Fourier discreto convierten ese conteo en una cota de segundo momento sobre la banda de baja valuación, $\sum_{\xi\ \mathrm{impar}}\lvert G(\xi)\rvert^2=O(4^k)$ (Conjetura IX.1). Se demuestra que el objetivo correcto es $L^2$ sobre pares —la equidistribución puntual es imposible— y que la cota raíz-cuadrada puntual es falsa: la dificultad es genuinamente de segundo momento, con $Q_k(0)/4^k\to 2$ y Cauchy–Schwarz insuficiente.

Escritos XII–XVII, El núcleo aritmético. Una reducción de Gauss convierte el término analítico en un conteo aritmético de valuaciones: la Conjetura IX.1 equivale a una ley geométrica de razón $\tfrac12$ para $v_2(A)$, con $A=3F(b)-6F(b')-1$. A partir de las formas lineales $L_j=F-2^jF'$ se obtienen la reducción exacta $v_2(A)\ge r\iff L_1\equiv 3^{-1}\pmod{2^r}$, la ley de frontera $P(A\ \text{par})\to\tfrac13$ y la racionalidad de las leyes límite $\mu_r$. Mediante la localización en $F$ impar y el giro por $3$, el núcleo se presenta finalmente como un triángulo cerrado de tres lenguajes equivalentes —segundo momento $R_r$, suma localizada $L_r$ y defecto de valuación $q_r-q_{r-1}$—, que lo reduce a $\lvert q_r-q_{r-1}\rvert=O(2^{-r})$.

Escritos XVIII–XXVI, La localización dinámica y H3. El núcleo se describe primero con maquinaria dinámica —el operador de renovación, de brecha espectral $\tfrac12$ demostrada, y el de dos copias $T\otimes T$, de espectro $\subseteq{1,\tfrac12,\tfrac14}$—, pero la contracción vive sobre observables regulares y ninguna cota por magnitud contrae para ningún peso. Un diagnóstico de normas y de equidistribución reubica el núcleo en un enunciado puntual, $\lvert\delta_r(L_1)(3^{-1})\rvert=O(2^{-r})$ con $3^{-1}$ un punto RMS-típico, y lo factoriza en una tipicidad (XXI.1) y un cuarto momento en el umbral (XXI.2). Dos reducciones exactas llevan XXI.1 a una correlación fase–fluctuación, sin holgura, y XXI.2 a la energía aditiva $M_r=\sum_{\xi\ \mathrm{imp}}\lvert\hat\rho_r\rvert^4\le C,4^{-r}$ —el detalle $L^2$ de la densidad de $F-F'$, reconectada con el conteo de colisiones inicial—, cuyo fondo difícil es la regularidad de una medida autosemejante con una rama isométrica, del tipo de las convoluciones de Bernoulli. Finalmente se demuestra el pilar pendiente, la identidad de norma (H3) $\lVert\Pi(R_k)\rVert_2=\tfrac12\lVert\mathrm{diff}_k\rVert_2$, como una isometría exacta, con lo que $D_1$ queda reducida de extremo a extremo a un único enunciado abierto, $\lVert\mathrm{diff}_k\rVert_2\to 0$; la tasa observada es compatible con $1/\sqrt2$.